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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:50

Bild
Mollweide

Welt- oder Himmelskarten liegen gängigerweise entweder in der Plattkarten- oder der Mollweide-Projektion vor. Der folgende Artikel zeigt wie man einen Kartennetzentwurf in den anderen umwandelt, und wie man ihn auf eine Kugel projiziert. Das in den Beispielen verwendete Rohmaterial ist das Wikipedia-Bild Equirectangular-projection.jpg

Zuerst wird die Funktion für die Koordinatentransformation definiert und ihr der Name Eq2Mol zugewiesen:

Code: Alles auswählen
Eq2Mol[{x_, y_}] := {Lmol[x, y], Bmol[y]};
θ[y_, rad_: 1] := ArcSin[y];
Bmol[y_] := ArcSin[(2 θ[y] + Sin[2 θ[y]])/π];
Lmol[x_, y_] :=  0 + π x/(2 Cos[θ[y]]);
(* Equirectangular <> Mollweide *)

Bild

Anstatt der 0 kann auch der Winkel um den der Längengrad verschoben werden soll in Radianten eingegeben werden. Dann wird eine Karte geladen, in diesem Fall eine Plattkarte, und dem Bild eine beliebige Variable, hier Eq für Equirectangular, zugewiesen:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Equirectangular-projection.jpg"]
(* Plattkarte laden *)

Bild

Die Plattkarte Eq wird ins Mollweide-Format umgewandelt und das generierte Bild als Mw gespeichert:

Code: Alles auswählen
Mw = ImageTransformation[Eq, Eq2Mol,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}},
  PlotRange -> {{-2, 2}, {-1, 1}}]
  (* Equirectangular -> Mollweide *)

Bild

Und umgekehrt von Mollweide wieder zurück nach Equirectangular als eQ:

Code: Alles auswählen
eQ = ImageForwardTransformation[Mw, Eq2Mol,
  DataRange -> {{-2, 2}, {-1, 1}},
  PlotRange -> All]
  (* Mollweide -> Equirectangular *)

Bild

Da es sich um eine Pixeloperation handelt werden die Qualitätsverluste desto höher je öfter man von einer Projektion in die andere und wieder zurück transformiert.
Bild
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von Anzeige » So 15. Dez 2019, 21:50

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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:51

Bild
Hammer-Aitoff

Die Funktion um von der Equirectangular- in die Hammer-Aitoff-Projektion zu transformieren lautet:

Code: Alles auswählen
Eq2HA[{x_, y_}] := {Lha[x, y], Bha[x, y]};
ζ[x_, y_] := Sqrt[1 - x^2/16 - y^2/4];
Bha[x_, y_] := ArcSin[ζ[x, y] y];
Lha[x_, y_] := 2 ArcTan[ζ[x, y] x/(2 (2 ζ[x, y]^2 - 1))];
(* Equirectangular >> Hammer Aitoff *)

Bild

Das verwendete Rohmaterial ist wieder dieses:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"]
(* Plattkarte laden *)

Die Plattkarte Eq wird nun in die Hammer-Aitoff Projektion Ha umgewandelt. Die doppelt projizierten Bereiche an den Rändern können bei Bedarf mit einer schwarzen oder weissen Ellipsenumhüllung abgedeckt werden:

Code: Alles auswählen
Ha = ImageTransformation[Eq, Eq2HA,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}},
  PlotRange -> {{-2 Sqrt[2], 2 Sqrt[2]}, {-Sqrt[2], Sqrt[2]}}]
  (* Equirectangular -> Hammer Aitoff *)

Bild

Für die Rückverwandlung ins Plattkartenformat wird die Transformation

Code: Alles auswählen
HA2Eq[{x_, y_}] := {X[x, y], Y[x, y]};
X[x_, y_] := (2 Sqrt[2] Cos[y] Sin[x/2])/Sqrt[1 + Cos[y] Cos[x/2]];
Y[x_, y_] := (Sqrt[2] Sin[y])/Sqrt[1 + Cos[y] Cos[x/2]];
(* Hammer Aitoff >> Equirectangular *)

Bild

benötigt (da bei der Transformation in das Hammer-Aitoff-Format die selben Koordinaten sowohl ins Bild als auch an den Rand projiziert werden kann bei einer Invertierung der Funktion nicht wie sonst üblich die ImageTransformation[] in eine ImageForwardTransformation[] überführt werden).

Code: Alles auswählen
eq = ImageTransformation[Ha, HA2Eq,
 DataRange -> {{-2 Sqrt[2], 2 Sqrt[2]}, {-Sqrt[2], Sqrt[2]}},
 PlotRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}]
 (* Hammer Aitoff -> Equirectangular *)
Bild
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:51

Bild
Quincunx

Um eine Plattkarte ins Quincunx-Format zu transformieren wird wie immer zuerst die Plattkarte geladen:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"]
(* Plattkarte laden *)

Danach wird die Transformationsregel implementiert:

Code: Alles auswählen
Eq2Pq[{x_, y_}] := {Arg[JacobiCN[x + I y, 1/2]], 2 ArcCot[Abs[JacobiCN[x + I y, 1/2]]]};
R = EllipticK[1/2];
(* Quincunx <> Equirectangular *)

Bild

oder wenn es um reine Pixeltransformationen geht alternativ dazu:

Code: Alles auswählen
j[ε_] := Max[0, Ceiling[Log2[4 Abs[ε]]]];
ξ[ε_] := (ε 2^-j[ε])^2;
fPq[ε_] := Nest[-(((#^2+2) #^2-1)/((#^2-2) #^2-1)) &, (1-ξ[ε]/4 (1+ξ[ε]/30 (1+ξ[ε]/8)))/(1 + ξ[ε]/4 (1 - ξ[ε]/30 (1 - ξ[ε]/8))), j[ε]];
Eq2Pq[{x_, y_}] := {Arg[fPq[x + I y]], 2 ArcCot[Abs[fPq[x + I y]]]};
R = EllipticK[1/2];
(* Quincunx <> Equirectangular *)

Bild

Und angewandt:

Code: Alles auswählen
Pq = ImageTransformation[Eq, Eq2Pq,
  DataRange -> {{-π, +π}, {-0, +π}}, PlotRange -> {{0, 2 R}, {-R, R}}]
  (* Equirectangular -> Quincunx *)

Bild

Da das so gezeichnete Muster ein wiederholendes ist kann es endlos fortgesetzt werden:

Code: Alles auswählen
pq = ImageTransformation[Eq, Eq2Pq,
  DataRange -> {{-π, +π}, {-0, +π}}, PlotRange -> {{0, 4 R}, {-R, 3 R}}]
  (* Equirectangular -> Quincunx *)

Bild

Zurücktransformiert wird mit

Code: Alles auswählen
eP = ImageForwardTransformation[pq, Eq2Pq,
  DataRange -> {{0, 4 R}, {-R, 3 R}}, PlotRange -> {{-π, +π}, {-0, +π}}]
  (* Quincunx -> Equirectangular *)

Wobei hier darauf zu achten ist dass 180°=π auf der Quincunx-Karte dem elliptischen Integral erster Art des Arguments 1/2 entspricht.
Bild
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:51

Bild
Sinusoidal

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"
(* Rohmaterial importieren *)]
Bild

Die Transformationen für die Sinusoidal-Projektion lauten hin und zurück:

Code: Alles auswählen
Eq2Sin[{x_, y_}] := {(x - 0) Cos[y], y}
(* Sinusoidial <> Equirectangular *)
Sin2Eq[{x_, y_}] := {0 + x/Cos[y], y}
(* Equirectangular <> Sinusoidial *)

Bild

Wenn ein anderer Längengrad zentriert werden soll kann dieser in Radianten an der Stelle wo die 0 steht einfügt werden.
Transformation von der Plattkarte zum Sinusoidial:

Code: Alles auswählen
Sn = ImageForwardTransformation[Eq, Eq2Sin,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}, PlotRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}]
Code: Alles auswählen
Sn = ImageTransformation[Eq, Sin2Eq,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}, PlotRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}]
  (* Equirectangular -> Sinusoidial *)

Bild

Und vom Sinusoidial zurück in die Plattkarte:

Code: Alles auswählen
ες = ImageTransformation[Sn, Eq2Sin,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}, PlotRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}]
Code: Alles auswählen
ες = ImageForwardTransformation[Sn, Sin2Eq,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}, PlotRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}}]
  (* Sinusoidial -> Equirectangular *)
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:52

Bild
Polar

Wie üblich zuerst die Transformation der Plattkarte in die mittabstandstreue Azimutalprojektion:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"]
(* Plattkarte laden *)

Nachdem das Rohmaterial geladen ist die Funktion definieren:

Code: Alles auswählen
Eq2Pl[{x_, y_}] := {(-2 y Cos[ x]), (2 y Sin[x])};
(* Polar Süd <> Equirectangular *)

Bild

Danach die als Variable Eq geladene Plattkarte in die Polarprojektion Pl transformieren:

Code: Alles auswählen
Pl = ImageForwardTransformation[Eq, Eq2Pl,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}},
  PlotRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}}]
  (* Equirectangular -> Polar Süd *)

Bild

Falls sich bei zu niedrig aufgelöstem Rohmaterial an der Stelle wo sich die Ränder treffen eine Linie bildet kann man dieses Interpolationsartefakt mit einer leichten Modifikation der DataRange -> {{-π-Δ, π+Δ} in den Griff bekommen, wobei Δ=π/W und W für die Breite der Plattkarte in Pixeln steht (wenn das Rohmaterial 1000 px breit dann Δ=π/1000).

Liegt im umgekehrten Fall als Rohmaterial eine Polarprojektion die in die Rektangularprojektion transformiert werden soll vor wird die ImageForwardTransformation[] in eine ImageTransformation[] überführt:

Code: Alles auswählen
εp = ImageTransformation[Pl, Eq2Pl,
  DataRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}},
  PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]
  (* Polar Süd -> Equirectangular *)

Soll statt des Südpols der Nordpol zentriert werden ändern wir das Vorzeichen:

Code: Alles auswählen
Eq2P2[{x_, y_}] := {(2 y Cos[ x]), (2 y Sin[x])};
 (* Polar Nord <> Equirectangular *)

Bild

Und die DataRange:

Code: Alles auswählen
pL = ImageForwardTransformation[Eq, Eq2P2,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π, 0}},
  PlotRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}}]
  (* Equirectangular -> Polar Nord *)

Bild

Daraus folgt im Umkehrschluss bei einer Rücktransformation

Code: Alles auswählen
εP = ImageTransformation[pL, Eq2P2,
  DataRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}},
  PlotRange -> {{-π, π}, {-π, 0}}]
  (* Polar Nord -> Equirectangular *)

Alternativ dazu kann man die Plattkarte vor der Transformation oder nach der Rücktransformation auch um 180° rotieren oder spiegeln wenn man für Nord- und Südzentrierung die selbe Transformation benutzen will oder irrtümlicherweise die falsche erwischt hat.
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:52

Bild
Stereographische Projektion

Zuerst wird eine Plattkarte in die konforme azimutale Projektion transformiert, und hernach wieder zurück. Mit dieser Projektion wird eine Kugelinversion, also die Invertierung einer Kugel in eine Kuppel, bewerkstelligt.

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"];
(* Plattkarte von der Festplatte laden *)

Die Funktionen lauten:

Code: Alles auswählen
St2Eq[{x_, y_}] := {2 Tan[π/4 - y/2] Sin[x - 0], -2 Tan[π/4 - y/2] Cos[x - 0]};
Eq2St[{x_, y_}] := {0 + ArcTan[-y, x], -2 ArcTan[2, Sqrt[x^2 + y^2]] + π/2};
(* Equirectangular <> Stereographisch *)

Bild

Transformation Plattkarte Eq in die stereographische Projektion St:

Code: Alles auswählen
Δ = 2π/1024;
St = ImageTransformation[Eq, Eq2St,
  DataRange -> {{-π - Δ, π + Δ}, {-π/2, π/2}}, PlotRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}}]
(* Equirectangular -> Stereographisch *)

Bild

Stereographische Projektion St in eine Plattkarte eqSt zurücktransformieren:

Code: Alles auswählen
Δ = 2π/1024;
eqSt = ImageTransformation[St, St2Eq,
  DataRange -> {{-2 π, 2 π}, {-2 π, 2 π}},  PlotRange -> {{-π - Δ, π + Δ}, {-π/2, π/2}}]
(* Stereographisch -> Equirectangular *)

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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:54

Bild
Mercator

Nun wird eine Plattkarte in die Mercator-Projektion umgewandelt:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"];
(* Plattkarte von der Festplatte laden *)

Die Transformationen:

Code: Alles auswählen
Eq2Mc[{x_, y_}] := {x - 0, Log[Tan[π/4 + y/2]]};
Mc2Eq[{x_, y_}] := {x + 0, π/2 - 2 ArcTan[E^-y]};
(* Equirectangular <> Mercator *)

Bild

Transformation Plattkarte Eq in die Mercator Projektion Mc:

Code: Alles auswählen
Mc = ImageForwardTransformation[Eq, Eq2Mc,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π/2, π/2}},  PlotRange -> {{- π, π}, {- π, π}}]
(* Equirectangular \[Rule] Mercator *)

Bild

Mercator-Projektion Eq in eine Plattkarte eqMc zurücktransformieren:

Code: Alles auswählen
eqMc = ImageForwardTransformation[Mc, Mc2Eq,
  DataRange -> {{-π, π}, {-π, π}}, PlotRange -> {{- π, π}, {- π/2, π/2}}]
(* Mercator -> Equirectangular *)

Bild
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:55

Bild
Karte neu zentrieren: Winkeltransformationen

Auf einer Plattkarte entspricht der Längengrad λ normalerweise der x-Achse, und der Breitengrad θ der y-Achse. So ergibt sich das bekannte Bild mit den Polen an den oberen und unteren Rändern und dem Äquator in der Mitte. Soll stattdessen eine andere Koordinate als {0,0} zentriert werden, z.B. der Nordpol, was einer Rotation um β=π/2=90° auf der θ-Achse entspricht, müssen die Kugelkoordinaten zuerst in den kartesischen 3D-Raum überführt, rotiert, und zurück in Kugelkoordinaten transformiert werden. Dazu schreiben wir zuerst folgende Funktion, um die Perspektive um die beliebigen Winkel α, β & ψ zu verschieben:

Code: Alles auswählen
xyz[{x_, y_}] :=
 {
  Sin[y] Cos[x],
  Sin[y] Sin[x],
  Cos[y]
  }

Xyz[{x_, y_, z_}, α_] :=
 {
  x Cos[α] - y Sin[α],
  x Sin[α] + y Cos[α],
  z
  }

xYz[{x_, y_, z_}, β_] :=
 {
  x Cos[β] + z Sin[β],
  y,
  z Cos[β] - x Sin[β]
  }

xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] :=
 {
  x,
  y Cos[ψ] - z Sin[ψ],
  y Sin[ ψ] + z Cos[ψ]
  }

xy[{x_, y_, z_}] :=
 {
  ArcTan[x, y],
  ArcCos[z]
  }

rm[pic_, α_, β_, ψ_] :=
 xy[xyZ[xYz[Xyz[xyz[pic], α], β], ψ]]

RM[{x_, y_}] := rm[{x, y}, α, β, ψ]

Bild

Dann wird das Rohmaterial geladen:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["C:\\Users\\Yukterez\\Desktop\\Equirectangular-projection.jpg"]
Bild

Hier wird die Perspektive auf der x-Achse um den Winkel α gedreht:

Code: Alles auswählen
α = +5/6 π; β = 0; ψ = 0;
p1 = ImageTransformation[Eq, RM,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}},  PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]

Bild

Jetzt auf der y-Achse um den Winkel β=90°, so dass der Nordpol zentriert ist:

Code: Alles auswählen
α = 0; β = +π/2; ψ = 0;
p2 = ImageTransformation[Eq, RM,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}},  PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]

Bild

Nun mit β=-90°, also zentriertem Südpol:

Code: Alles auswählen
α = 0; β = -π/2; ψ = 0;
p2 = ImageTransformation[Eq, RM,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}},  PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]

Bild

Im nächsten Bild wird der Winkel ψ (entlang der z-Achse) um 90° gedreht, also Norden und Süden nach Westen und Osten verschoben:

Code: Alles auswählen
α = 0; β = 0; ψ = +π/2;
p3 = ImageTransformation[Eq, RM,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}},  PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]

Bild

Und eine ganze Umdrehung auf der y-Achse (β = -π..π):

Code: Alles auswählen
α = 0; ψ = 0;
Do[Print[
  Eq2Eq[{x_, y_}] := rm[{x, y}, α, β, ψ];
  ImageTransformation[Eq, Eq2Eq,
  DataRange -> {{-π, π}, {0, π}}, PlotRange -> {{-π, π}, {0, π}}]],
 {β, -π, π, π/20}]

Bild

Wenn die selbe Operation an einer Mollweide, Hammer, Quincunx, Polar oder sonstigen Karte durchgeführt werden soll ist es am einfachsten diese wie in den vorangegangenen Beiträgen gezeigt zuerst in eine Plattkarte zu verwandeln, dann die neue Perspektive zu wählen und zuletzt wieder in die gewünschte Projektion zurückzutransformieren.
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Beitragvon yukterez » So 15. Dez 2019, 21:55

Bild
Sphärische 3D Projektion

Um eine Karte auf eine Kugel zu projizieren wandelt man diese wenn sie nicht bereits eine ist in eine Plattkarte um (siehe oben), da in dem Format die x- und y-Werte des Bildes 1:1 den Längen- und Breitengraden auf der Kugel entsprechen. Dann wird dieses Bild, hier Eq, als Textur definiert und auf die Kugel projiziert:

Code: Alles auswählen
Eq = Import["https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Equirectangular-projection.jpg"]
(* Plattkarte laden *)
Code: Alles auswählen
 Clear[α, β, ψ];
Kugel[pic_, {X_, Y_, Z_}] :=
 SphericalPlot3D[
 1, {u, 0, π}, {v, 0, 2 π},
 Mesh -> None,
 TextureCoordinateFunction -> ({#5, 1 - #4} &),
 PerformanceGoal -> "Quality",
 PlotStyle -> Directive[Texture[pic]],
 Lighting -> "Neutral",
 Axes -> False,
 RotationAction -> "Clip",
 SphericalRegion -> True,
 Boxed -> False,
 ViewPoint -> {X, Y, Z},
 ViewAngle -> 2/5,
 ImageSize -> 600,
 PlotPoints -> 150];
 sphere = Manipulate[Kugel[Eq, {
 +x Cos[α] Cos[β],
 +x Cos[ψ] Sin[α] + x Cos[α] Sin[β] Sin[ψ],
 -x Cos[α] Cos[ψ] Sin[β] + x Sin[α] Sin[ψ]}],
 {α, 0, 2 π}, {β, 0, 2 π}, {ψ, 0, 2 π}, {{x, 5}, 1/2, 20}]
 (* Equirectangular -> Sphere *)

Bild

Eine Übersicht der verschiedenen Projektionsarten, ihrer Eigenschaften und der sie beschreibenden Gleichungen findet sich hier und hier. Der gesamte Code für alle in diesem Faden verwendeten Transformationen in einer Datei befindet sich als .nb-File auf kartographie.yukterez.net

Für den Fall dass ein Gitter benötigt wird kann dieses wie folgt erzeugt:

Code: Alles auswählen
color = Black; dX = H/9; dY = dX; W = 4000; H = W/2;
linesX := {color, Thick, Line[{{0 + dx, 0}, {0 + dx, H}}]};
linesY := {color, Thick, Line[{{0, 0 + dy}, {W, 0 + dy}}]};
lines = {Table[linesX, {dx, 0, W, dX}], Table[linesY, {dy, 0, H, dY}]};
grid = Graphics[lines, PlotRange -> {{0, W}, {0, H}}, Frame -> False]

und über das zu transformierende Bild Eq gelegt werden:

Code: Alles auswählen
EQ = Show[Eq, grid]

H ist die Höhe des Rohmaterials Eq in Pixeln, und W dessen Breite. Alle Codes sind in der Wolfram-Sprache verfasst; zu den Anwendungsbeispielen und dem Grundgerüst in alternativer Syntax geht es hier entlang.
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